Question

【題目】已知函數f（x）=m﹣
（1）若f（x）是R上的奇函數，求m的值
（2）用定義證明f（x）在R上單調遞增
（3）若f（x）值域為D，且D[﹣3，1]，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是R上的奇函數，

∴f（x）+f（﹣x）=m﹣ +m﹣ =0，

即2m﹣（ + ）=02m﹣1=0，

解得m=

（2）解：設 x1＜x2且x1，x2∈R，

則f（x1）﹣f（x2）=m﹣ ﹣（m﹣ ）= ，

∵x1＜x2∴ ，

，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在R上單調遞增

（3）解：由 ，所以m﹣1＜f（x）＜m，f（x）值域為D，且D[﹣3，1]，

∴D=（m﹣1，m），

∵D[﹣3，1]，

∴ ，

∴m的取值范圍是[﹣2，1]

【解析】（1）由奇函數的定義可得f（x）+f（﹣x）=0恒成立，由此可求得m值；（2）設 x1＜x2且x1 ， x2∈R，利用作差證明f（x1）＜f（x2）即可；（3）先根據反比例函數的單調性求出值域D，然后由D[﹣3，1]可得關于m的不等式組，解出即可；