Question

（本小題滿分13分）

已知數列{a_n}中，a₂＝p(p是不等于0的常數)，S_n為數列{a_n}的前n項和，若對任意的正整數n都有S_n＝.

(1)證明：數列{a_n}為等差數列；(2)記b_n＝＋，求數列{b_n}的前n項和T_n；

(3)記c_n＝T_n－2n，是否存在正整數N，使得當n＞N時，恒有c_n∈(，3)，若存在，請證明你的結論，并給出一個具體的N值；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解析：(1)由S₁＝a₁＝＝0得a₁＝0，

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝－a_n－1，故(n－2)a_n＝(n－1)a_n－1，

故當n＞2時，a_n＝a_n－1＝··…····a₂＝(n－1)p，由于n＝2時a₂＝p，n＝1時a₁＝0，也適合該式，故對一切正整數n，a_n＝(n－1)p，a_n＋1－a_n＝p，由于p是常數，故數列{a_n}為等差數列．

(2)S_n＝＝，

b_n＝＋＝＋＝2＋2(－)，

∴T_n＝2n＋2(1－＋－＋－＋－＋…＋－＋－)

＝2n＋2(1＋－－)

＝2n＋3－2(＋).

(3)c_n＝T_n－2n＝3－2(＋)＜3對所有正整數n都成立；

若c_n＞，即3－2(＋)＞⇒＋＜，記f(n)＝＋，則f(n)單調遞減，又f(6)＝＋＞＋＝，f(7)＝＋＜＋＝，故只要取N＝6，則當n＞N時，f(n)＜.故存在正整數N，使得當n＞N時，恒有c_n∈(，3)．N可以取所有不小于6的正整數．

 

【解析】略