Question

（2006•靜安區二模）已知動圓過定點F(

1

2

，0)，且與定直線l：x=-

1

2

相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）設點O為坐標原點，P、Q兩點在動點M的軌跡上，且滿足OP⊥OQ，OP=OQ，求等腰直角三角形POQ的面積；
（3）設過點F(

1

2

，0)的直線l與動點M的軌跡交于R、S相異兩點，試求△ROS面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設動圓圓心M的坐標為M（x，y），依題意，點M到直線l：x=-

1

2

的距離等于點M到點F的距離，從而可求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）解法1：由拋物線的對稱性可知，直線OP的方程為：y=x，與拋物線方程聯立，可求得P、Q的坐標，從而可求等腰直角三角形POQ的面積；
解法2：OP⊥OQ，可設直線OP的方程為y=kx，于是有直線OQ的方程為y=-

1

k

x，與拋物線方程聯立，可求得P、Q的坐標分別為（

2

k2

，

2

k

），（2k²，2k³），由OP=OQ可求得k=±1，從而可求S_△POQ；
（3）設三角形面積為W，分斜率不存在與斜率存在兩種情況討論，可分別求得W的解析式，利用函數的性質即可求得△ROS面積的取值范圍．

解答：解：（1）設動圓圓心M的坐標為M（x，y），因為動圓過定點F（

1

2

，0），且與定直線l：x=-

1

2

相切，
所以M到直線l：x=-

1

2

的距離等于M到F的距離，
于是有(x+

1

2

)2=(x-

1

2

)2+y²…（2分）
化簡得y²=2x，即動圓圓心M的軌跡方程為y²=2x…（4分）
（2）解法1：由拋物線的對稱性可知，直線OP的方程為：y=x，…（6分）
可解得點P、Q的坐標分別為（2，2），（2，-2）…（8分）
所以，S_△POQ=

1

2

|OP|²=4…（10分）
解法2：因為OP⊥OQ，設直線OP的方程為：y=kx，
則直線OQ的方程為：y=-

1

k

x，…（6分）
解得點P、Q的坐標分別為（

2

k2

，

2

k

），（2k²，2k³），
由OP=OQ，得

4

k2

+

4

k4

=4k⁴+4k⁶，k⁸=1，可得點P、Q坐標分別為（2，2），（2，-2）…（8分）
所以，S_△POQ=

1

2

|OP|²=4…（10分）
（3）設三角形面積為W，斜率不存在時，W=

1

2

，…（11分）
斜率存在時，顯然k≠0，設直線方程為y=k（x-

1

2

），設點P、Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則W=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

4

(y1+y2)2-4y1y2

，…（13分）
由方程組

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

得ky²-2y-k=0，所以

y1+y2= 2 k y1y2=-1

…（16分）
W=

1

4

4 k2 +4

=

1

2

1+ 1 k2

，該函數的值域為[

1

2

，+∞），所以三角形面積W的取值范圍是[

1

2

，+∞），…（18分）（注：端點

1

2

沒取的總共扣1分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，突出考查動點的軌跡問題，考查方程思想與韋達定理的綜合應用，考查抽象思維與綜合運算能力，屬于難題．