Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知兩定點、，⊙C的方程為．當⊙C的半徑取最小值時：

（1）求出此時m的值，并寫出⊙C的標準方程；

（2）在x軸上是否存在異于點E的另外一個點F，使得對于⊙C上任意一點P，總有為定值？若存在，求出點F的坐標，若不存在，請說明你的理由；

（3）在第（2）問的條件下，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）把一般方程化為標注形式，由二次函數最值得；（2）由于λ取值與x無關，則對應項系數成比例;(3) 在第（2）問的條件下， ，利用對勾函數求最值.

試題解析：

（1）⊙C的標準式為： ，

當時，⊙C的半徑取最小值，此時⊙C的標準方程為；

（2）設，定點（m為常數），則．

∵，∴，代入上式，

得： ．

由于λ取值與x無關，∴（舍去）．

此時點F的坐標為， 即；

（3）

由上問可知對于⊙C上任意一點P總有，

故，

而（當P、F、G三點共線時取等號），

又，故．

∴

，

令，則，

根據對勾函數的單調性可得： ．