Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），當(dāng)x₁≠x₂時有

f(x1)+2x1-[f(x2)+2x2]

x1-x2

＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后求出f′（1），同時求出f（1），由點斜式寫出切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進一步求出導(dǎo)函數(shù)的零點

1

2

，

1

a

，分

1

a

≤1，1＜

1

a

＜e及

1

a

≥e三種情況討論原函數(shù)的單調(diào)性，由f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2求解a的取值范圍；
（Ⅲ）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+2x，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求解a的范圍．把函數(shù)g（x）求導(dǎo)后分a=0和a≠0討論，a≠0時借助于二次函數(shù)過定點及對稱軸列式求解．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，f′(x)=2x-3+

1

x

．
∵f′（1）=0，f（1）=2，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=-2；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域是（0，+∞）．
當(dāng)a＞0時，f′(x)=2ax-(a+2)+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

，（x＞0）．
令f′（x）=0，即f′(x)=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0．
∴x=

1

2

或x=

1

a

．
當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
當(dāng)1＜

1

a

＜e時，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合題意；
當(dāng)

1

a

≥e時，f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合題意．
綜上，a≥1；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax²-ax+lnx，
由題意可知只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可．
而g′(x)=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

．
當(dāng)a=0時，g′(x)=

1

x

＞0，此時g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； 
當(dāng)a≠0時，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因為x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，則需要a＞0，
對于函數(shù)y=2ax²-ax+1，過定點（0，1），對稱軸x=

1

4

＞0，
只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．
綜上0＜a≤8．

點評：本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法，是難題．