Question

已知多面體ABCDFE中， 四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD， O、M分別為AB、FC的中點，且AB = 2，AD =" EF" = 1.

（1）求證：AF⊥平面FBC；
（2）求證：OM∥平面DAF；
（3）設平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD∶V_F-CBE的值.

Answer 1

（1）（2）見解析（3）

試題分析：（1）要證,則需要證明與平面內的兩條相交直線垂直,而根據題意已知,故只需再根據題意平面⊥平面,可證,從而證明,則可證明結論.
（2）要證∥平面,則需要在平面內找一條直線與平行,根據點都是中點的特點, 取中點,證明四邊形為平行四邊形,即有∥,則可證明結論.
（3）要求體積比,首先得找到體積,根據題意可知,分割后形成了兩個棱錐,一個四棱錐,一個三棱錐;根據棱錐的體積公式,得找到底面積和高,而其中四棱錐的底面和高比較容易確定,而三棱錐中關鍵是確定底面和高,確定的依據就是是否有現成的線面垂直,顯然,所以確定底面為高.最后分別求體積做比值即可.
試題解析：（1）平面⊥平面 ，平面平面,
平面，而四邊形為矩形,
.平面
則,
（2）取中點，連接，則∥，且，又四邊形為矩形，
∥，且  四邊形為平行四邊形，∥
又平面，平面  ∥平面
（3）過作于 ，由題意可得：平面.
所以:.
因為平面, 所以 
所以