Question

已知函數在其定義域上滿足．
（1）函數的圖象是否是中心對稱圖形？若是，請指出其對稱中心（不證明）；
（2）當時，求x的取值范圍；
（3）若，數列滿足，那么：
①若，正整數N滿足時，對所有適合上述條件的數列，恒成立，求最小的N；
②若，求證：．

Answer 1

解：（1）依題意有．若，則，得，這與矛盾，∴，∴，故的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心為點．
（2）∵，∴即又∵，∴
得．
（3）①由得，∴．由得，
即．令，則，又∵，∴，∴．
∵，∴，∴當時，．
【或∵，∴】
又∵也符合，∴，即，得．要使恒成立，只需，即，∴．故滿足題設要求的最小正整數．
② 由①知，∴，
，∴當時，不等式成立．
證法1：∵，∴當時，


．
證法2：∵，∴當時，
．
證法3：∵，∴當時，
．
證法4：當時，∵，∴
，∴
．
證法5：∵，∴當時，．
綜上，對任意的，都有．