Question

【題目】關于的方程有3個不等實根．

（1）求實數的取值范圍；

（2）求證：方程的3個實根之和大于2．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）方程有3個不等實根等價于方程有3個不等實根，令，利用導數研究函數的單調性及極值，t的范圍介于極小值與極大值之間；（2）設的三個根分別為，且，數形結合知，通過構造的新函數的單調性證明，再利用的單調性可得，即可證明3個根之和大于2.

（1）方程有3個不等實根等價于方程有3個不等實根，

考慮函數，，，

當時，為減函數，對于任意的，當時，，這表明當時，的值域為；

當時，為增函數，在上的值域為；

當時，為減函數，設，，

當時，，單調遞增，．

可知當時，恒成立，則恒成立，

則對任意，當時，，并且時，．

這表明，當時，的值域為，

為極小值，為極大值．

若與有3個交點，則．

（2）設的三個根分別為，且，易知．

設，．

，

當時，恒成立，單調遞減，．

所以，故，

因為當時，單調遞減，

所以．