Question

已知橢圓的焦點為F₁(－4，0)，F₂(4，0)，過點F₂且垂直于軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|BF₁|＋|BF₂|＝10，設點A，C為橢圓上不同兩點，使得|AF₂|，|BF₂|，|CF₂|成等差數列。

(Ⅰ) 求橢圓的標準方程；

(Ⅱ) 求線段AC的中點的橫坐標；

（Ⅲ）求線段AC的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)

（Ⅱ）4

（Ⅲ）

解析:

(Ⅰ)由已知及橢圓定義，得2a＝|BF₁|＋|BF₂|＝10，即。             （2分）

又，則。                                                  （3分）

故橢圓的標準方程是。                                               （4分）

(Ⅱ)設點，，。

因為橢圓的離心率，，由橢圓焦半徑公式，得|AF₂|＝5－，|CF₂|＝5－，

|BF₂|＝5－。                                                         （6分）

因為|AF₂|，|BF₂|，|CF₂|成等差數列，則|AF₂|＋|CF₂|＝2|BF₂|，即

(5－)＋(5－)＝，解得。

設線段AC的中點為M，則，故線段AC的中點的橫坐標為4。（8分）

（Ⅲ）因為點A，C在橢圓上，則，兩式相減，得

，即。             （9分）

設線段AC的垂直平分線方程為，則

，，，代入上式，得，

所以。                                                              （10分）

因為，則。                （11分）

因為點M在橢圓內部，則，即，所以。     （12分）

從而，故的取值范圍是。                             （13分）