Question

已知橢圓的焦點為F1(0，-2

2

)，F2(0，2

2

)，離心率為e，已知

2

3

，e，

4

3

成等比數列；
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知P為橢圓上一點，求

PF1

•

PF2

最大值．

Answer 1

分析：（1）由

2

3

，e，

4

3

成等比數列可求得e，而c=2

2

，從而可求得a，繼而可得橢圓的標準方程；
（2）設點P的坐標為（x，y），可求得

PF1

•

PF2

=x²+y²-8，結合（1）中橢圓的標準方程即可求得，

PF1

•

PF2

的最大值．

解答：解：（1）∵

2

3

，e，

4

3

成等比數列，
∴e²=

2

3

×

4

3

=

8

9

，
∴e=

2 2

3

；…（2分）
∵一個焦點F₁（0，-2

2

），
∴c=2

2

，則a=3，
∴b²=9-8=1，
∴橢圓的標準方程：x²+

y2

9

=1；                       …（6分）
（2）設點P的坐標為（x，y），則

PF1

=（-x，-2

2

-y），

PF2

=（-x，2

2

-y），
∴

PF1

•

PF2

=（-x，-2

2

-y）•（-x，2

2

-y）
=x²+y²-8…（8分）
∵P為橢圓上一點，由（Ⅰ）知x²+

y2

9

=1；
∴x²=1-

y2

9

，
∴

PF1

•

PF2

=x²+y²-8=

8y2

9

-7…（10分）
∴當y=3時，

PF1

•

PF2

取得最大值1．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程即其性質，考查向量的數量積與坐標運算，考查等比數列的性質，屬于中檔題．