Question

已知函數f（x）=x²e^x-1-

1

3

x³-x²，
（1）討論函數f（x）的單調性，
（2）設g（x）=

2

3

x³-x²，求證：對任意實數x，都有f（x）≥g（x）

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的導數，利用函數的單調性和導數之間的關系即可求出函數的單調區間．
（2）求函數的導數，利用函數的最值和導數之間的關系即可證明不等式成立．

解答： 解：（1）函數f（x）的定義域為R，f'（x）=（e^x-1-1）（x²+2x）=x（x+2）（e^x-1-1）
令f'（x）=0，可得e^x-1-1=0或x²+2x=0，即x₁=-2，x₂=0，x₃=1
列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-		+		-		+
f（x）	↓		↑		↓		↑

由上表可知函數f（x）在區間（-2，0）和（1，+∞）上是單調遞增函數；在區間（-∞，-2）和（0，1）上是單調遞減函數．
（II）設函數h（x）=f（x）-g（x）=x²e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），
又設函數m（x）=e^x-1-x，x∈R，則m'（x）=e^x-1-1，
所以當x∈（-∞，1）時，m'（x）＜0，此時m（x）為減函數；
當x∈（1，+∞）時，m'（x）＞0，此時m（x）為增函數，
因而m（x）≥m（1）=0恒成立（等號僅當x=1處取得）
綜上，當x=0或1時，h（x）=0，即f（x）=g（x）；
當x≠0，且x≠1時，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．
綜上：對任意實數x，都有f（x）≥g（x）．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷，以及不等式的證明，利用導數和函數單調性，最值的關系是解決此類問題的基本方法，考查學生的計算能力．