Question

正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：⊥平面；

（Ⅲ）在線段CA上是否存在點P，使直線PF與CD所成的角為．若存在請確定點Ｐ位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：設(shè)底面對角線的交點為O，連接E、O。 …………………1分

∵M(jìn)為EF的中點，四邊形ACEF為矩形

∴EM∥AO且EM=AO

∴AM∥OE         …………………2分

又OE在平面BDE面內(nèi)，AM在平面BDE面外          …………………3分

∴AM∥平面BDE。  …………………4分

（Ⅱ）證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系

,  ,  ,

,              …………………5分

    

∵= 0  = 0

∴  ………………6分

又∵        ………………7分

∴ AM⊥平面BDF       ………………8分

（Ⅲ）設(shè),則

 

 (0)即

∴         …………………10分

∴，

∴   (0)

∴

∴

∴     …………………12分