Question

【題目】已知過點的動直線與拋物線： 相交于， 兩點.當直線的斜率是時， .

（1）求拋物線的方程；

（2）設線段的中垂線在軸上的截距為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

（1）設拋物線方程為，與直線方程聯立，并設，結合韋達定理可，而已知條件告訴我們有，這樣可解得，得拋物線方程；

（2）設直線方程為，與拋物線方程聯立方程組，同時設中點為，結合韋達定理可得，從而得中垂線方程，求出縱截距（關于的函數），由直線與拋物線相交可得的范圍，從而可求得縱截距的范圍．

試題解析：

（1）設， ，當直線的斜率是時， 的方程為，

即，由得：

，

①，②，

又， ③，

由①②③及得： ，得拋物線的方程為.

（2）設： ， 的中點坐標為，

由得④

， .

線段的中垂線方程為，

線段的中垂線在軸上的截距為：

對于方程④，由得或， .