Question

在平面直角坐標系中，已知向量（），，動點的軌跡為T．

（1）求軌跡T的方程,并說明該方程表示的曲線的形狀；

（2）當時，已知、，試探究是否存在這樣的點： 是軌跡T內部的整點（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），且△OEQ的面積？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）軌跡方程為：

當時，方程表示兩條與x軸平行的直線；

當時，方程表示以原點為圓心，4為半徑的圓；

當且時，方程表示橢圓；

當時，方程表示雙曲線.

（2）滿足條件的點存在，共有6個，它們的坐標分別為：

解析:

（1）∵ ∴

得 即------------------------------------2分

當時，方程表示兩條與x軸平行的直線；(答方程表示兩條直線不扣分)----------------------------3分

當時，方程表示以原點為圓心，4為半徑的圓；(答方程表示圓不扣分)-----------------------4分

當且時，方程表示橢圓；-------------------------------------5分

當時，方程表示雙曲線.-------------------------------------------6分

（2）由（1）知，當時，軌跡T的方程為：.

連結OE，易知軌跡T上有兩個點A，B滿足,

分別過A、B作直線OE的兩條平行線、.

∵同底等高的兩個三角形的面積相等

∴符合條件的點均在直線、上. --------------------------------7分

∵   ∴直線、的方程分別為：、--------8分

設點 （ ）∵在軌跡T內，∴-----------------------9分

分別解與  得與

∵∴為偶數，在上，對應的

在上，對應的-----------------------13分

∴滿足條件的點存在，共有6個，它們的坐標分別為：

．------------------------------------------14分