Question

已知函數f(x)=ex+

a

ex

(a∈R)（其中e是自然對數的底數）
（1）若f（x）是奇函數，求實數a的值；
（2）若函數y=|f（x）|在[0，1]上單調遞增，試求實數a的取值范圍；
（3）設函數?(x)=

1

2

(x2-3x+3)[f(x)+f′(x)]，求證：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

?′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，并確定這樣的x₀的個數．

Answer 1

分析：（1）利用f（0）=0即可求出a的值．
（2）通過對a分類討論和利用單調增函數的定義即可求出a的取值范圍．
（3）已知問題：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

?′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，等價于證明：對任意的t＞-2，方程x2-x=

2

3

(t-1)2在區間（-2，t）內有實數解，通過對t分類討論即可．

解答：解：（1）∵函數f（x）是實數集R上的奇函數，∴f（0）=0，∴1+a=0，解得a=-1．
∴f（x）=e^x-e^-x，經驗證函數f（x）是R上的奇函數．
故a=-1適合題意．
（2）a=0時，y=e^x在區間[0，1]上單調遞增，適合題意；
當a≠0時，令t=e^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，e]．且t=e^x單調遞增，故y=|t+

a

t

|在t∈[1，e]時遞增．
當a＞0時，函數y=t+

a

t

在t∈[1，e]時單調遞增，得

a

≤1，∴0＜a≤1．
當a＜0時，y=t+

a

t

在t∈[1，e]時單調遞增恒成立，故?t∈[1，e]，t+

a

t

≥0．
∴-1≤a＜0．
綜上可知：-1≤a≤1．
（3）∵f（x）+f′（x）=ex+

a

ex

+ex-

a

ex

=2e^x，∴φ（x）=（x²-3x+3）e^x，∴

φ ′(x)

φ(x)

=x²-x．
要證明：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

?′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2．
等價于證明：對任意的t＞-2，方程x2-x=

2

3

(t-1)2在區間（-2，t）內有實數解．
令g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2，
則g（-2）=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

(t+2)(t-4)，g（t）=

1

3

(t-1)(t+2)．
所以①當t＞4，或-2＜t＜1時，g（-2）g（t）＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）內有解，且只有一解．
②當1＜t＜4時，g（-2）＞0，且g（t）＞0，但g（0）=-

2

3

(t-1)2＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）內有解，且由兩解．
③當t=1時，有且只有一個解x=0；
當t=4時，有且只有一個解x=3．
綜上所述：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

?′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2．
且當t≥4或-2＜t≤1時，有唯一的x₀適合題意；
當1＜t＜4時，有兩個不同的x₀適合題意．

點評：充分理解函數的單調性及分類討論的思想方法是解題的關鍵．