Question

（2012•海淀區一模）已知函數f(x)=e-kx(x2+x-

1

k

)(k＜0)．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）是否存在實數k，使得函數f（x）的極大值等于3e^-2？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f'（x））=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0），令f'（x）=0，解得：x=-1或x=

2

k

．按兩根-1，

2

k

的大小關系分三種情況討論即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）分情況求出函數f（x）的極大值，令其為3e^-2，然后解k即可，注意k的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為R，
f′(x)=-ke-kx(x2+x-

1

k

)+e-kx(2x+1)=e-kx[-kx2+(2-k)x+2]，即 f'（x）=-e^-kx（kx-2）（x+1）（k＜0）．
令f'（x）=0，解得：x=-1或x=

2

k

．
①當k=-2時，f'（x）=2e^2x（x+1）²≥0，
故f（x）的單調遞增區間是（-∞，+∞）；
②當-2＜k＜0時，f（x），f'（x）隨x的變化情況如下：

x	(-∞， 2 k )	2 k	( 2 k ，-1)	-1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數f（x）的單調遞增區間是(-∞，

2

k

)和（-1，+∞），單調遞減區間是(

2

k

，-1)．
③當k＜-2時，f（x），f'（x）隨x的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 2 k )	2 k	( 2 k ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數f（x）的單調遞增區間是（-∞，-1）和(

2

k

，+∞)，單調遞減區間是(-1，

2

k

)．
綜上，當k=-2時，f（x）的單調遞增區間是（-∞，+∞）；當-2＜k＜0時，f（x）的單調遞增區間是(-∞，

2

k

)和（-1，+∞），單調遞減區間是(

2

k

，-1)；
當k＜-2時，f（x）的單調遞增區間是（-∞，-1）和(

2

k

，+∞)，單調遞減區間是(-1，

2

k

)．
（Ⅱ） ①當k=-2時，f（x）無極大值．
②當-2＜k＜0時，f（x）的極大值為f(

2

k

)=e-2(

4

k2

+

1

k

)，
令e-2(

4

k2

+

1

k

)=3e-2，即

4

k2

+

1

k

=3，解得 k=-1或k=

4

3

（舍）．
③當k＜-2時，f（x）的極大值為f(-1)=-

ek

k

．
因為 e^k＜e^-2，0＜-

1

k

＜

1

2

，所以 -

ek

k

＜

1

2

e-2．
因為 

1

2

e-2＜3e-2，所以 f（x）的極大值不可能等于3e^-2，
綜上所述，當k=-1時，f（x）的極大值等于3e^-2．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及求函數極值問題，考查分類討論思想，考查學生邏輯推理能力，屬中檔題．