Question

已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1
(1)求橢圓的方程
(2)若為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，（e為橢圓C的離心率），求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？

Answer 1

（1）（2）軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段.

解析試題分析：（1）設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及分別為a,c,由已知得
{ 解得a=4,c=3,
所以橢圓C的方程為
（2）設(shè)M（x,y）,P(x,),其中由已知得

而，故     ①
由點(diǎn)P在橢圓C上得        

代入①式并化簡(jiǎn)得
所以點(diǎn)M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段.
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；軌跡方程的求法。
點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的基本步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)P（x，y）是軌跡上的任意一點(diǎn)；②尋找動(dòng)點(diǎn)P（x，y）所滿足的條件；③用坐標(biāo)（x，y）表示條件，列出方程f（x，y）=0；④化簡(jiǎn)方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式；⑤證明所得方程即為所求的軌跡方程，注意驗(yàn)證。