Question

【題目】已知復數，，，，，滿足，．

（1）若所對應點在圓上，求所對應點的軌跡；

（2）是否存在這樣的直線，對應點在上，所對應點也在直線上？若存在，求出所有這些直線；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）所對應點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓；（2）存在且有兩條或．

【解析】

（1）先根據，，得到，進而求得，然后將，，代入，利用復數相等，得到，，再代入求解.

（2）設存在且為．由，得到，．根據對應點在上，代入，利用待定系數法求解.

（1）因為，，所以，所以．

由，得．

所以 ．

∴，．

∵，

∴．

化簡，得，

即．

所以所對應點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓；

（2）由，得，．

假設滿足條件的直線存在，則斜率存在，設為．

因為對應點在上，得，即．

∴．

所以．解方程組，得，，

所以這樣的直線存在且有兩條或．