Question

設各項都是正數的數列{a_n}滿足：對于任意的自然數n，都有log0.5a1+

log0.5a2

2

+

log0.5a3

3

+…+

log0.5an

n

=n(n∈N*)．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數列{b_n}滿足bn=(n+2)(

9

5

)n•an，試求數列{b_n}的最大項；
（Ⅲ）令c₁=3，c_n=3a_n-1（n≥2），Sn=

n

i=1

ci，是否存在自然數c，k，使得

Sk+1-c

Sk-c

＞3成立？證明你的論斷．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 類比于已知Sn求a_n，寫出n+1時表達式，再兩式相減，易得．
（Ⅱ）可求得bn=(n+2)(

9

10

)n，利用作差法判定單調性，求最大項
（Ⅲ） cn=

3

2n-1

，再求出Sn代入表達式，解關于c，k的不定方程，探討解的情況．

解答：解：（1）由題意，知：log0.5a1+

log0.5a2

2

+

log0.5a3

3

+…+

log0.5an

n

=n．           ①
當n≥2時，log0.5a1+

log0.5a2

2

+

log0.5a3

3

+…+

log0.5an-1

n-1

=n-1．        ②
由①-②，知：當n≥2時，

log0.5an

n

=1，即an=(

1

2

)n．    
當n=1時，log_0.5a₁=1，a1=

1

2

適合上式．
所以，數列{a_n}的通項公式是an=(

1

2

)n(n∈N*)．         
（2）由（1）知：bn=(n+2)(

9

10

)n．
由

bn≥bn+1 bn≥bn-1

，即

(n+2)( 9 10 )n≥(n+3)( 9 10 )n+1 (n+2)( 9 10 )n≥(n+1)( 9 10 )n-1

．        
解得：7≤n≤8
因為n∈N^*，所以，n=7或8
（3）由題意，知：當n≥2時，cn=3an-1=

3

2n-1

．
又c₁=3適合上式，故數列{c_n}的通項公式為cn=

3

2n-1

．     
所以，Sn=

3[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=6[1-(

1

2

)n]．                     
假設存在自然數c，k，使得

Sk+1-c

Sk-c

＞3成立．即

6[1-( 1 2 )k+1]-c

6[1-( 1 2 )k]-c

＞3．
所以，

(6-c)•2k-3

(6-c)•2k-6

＞3
所以，

(6-c)•2k-3

(6-c)•2k-6

-3=

-2(6-c)•2k+15

(6-c)•2k-6

＞0
即

(6-c)•2k- 15 2

(6-c)•2k-6

＞0
所以，6＜(6-c)•2k＜

15

2

因為c，k為自然數，所以，（6-c）•2^k比為整數，
所以，（6-c）•2^k=7，所以，

2k=1 6-c=7

，即k=0，c=-1，不合題意
所以，不存在自然數c，k，使得

Sk+1-c

Sk-c

＞3成立．

點評：本題考查等比數列定義、通項公式、求和，數列的單調性、不定方程的解．考查分析解決問題、計算、邏輯思維，分類討論的思想方法和能力．