Question

設各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，已知2a₂=a₁+a₃，數列{

Sn

}是公差為d的等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式（用n，d表示）；
（2）設c為實數，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數m，n，k，不等式S_m+S_n＞cS_k都成立．求證：c的最大值為

9

2

．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的通項公式，結合已知，列出關于a₁、d的方程，求出a₁，進而推出s_n，再利用a_n與s_n的關系求出a_n．
（2）利用（1）的結論，對S_m+S_n＞cS_k進行化簡，轉化為基本不等式問題求解；或求出c的最大值的范圍，利用夾逼法求出a的值．

解答：解：（1）由題意知：d＞0，

sn

=

s1

+（n-1）d=

a1

+（n-1）d，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴3a₂=S₃，即3（S₂-S₁）=S₃，
∴3[(

a1

+d)2-a1] =(

a1

+2d)2，
化簡，得：a1-2

a1

•d+d2=0，

a1

=d，a1=d2

Sn

=d+(n-1)d=nd，Sn=n2d2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²d²-（n-1）²d²=（2n-1）d²，適合n=1情形．
故所求a_n=（2n-1）d²
（2）（方法一）S_m+S_n＞cS_k?m²d²+n²d²＞c•k²d²?m²+n²＞c•k²，c＜

m2+n2

k2

恒成立．
又m+n=3k且m≠n，2(m2+n2)＞(m+n)2=9k2?

m2+n2

k2

＞

9

2

，
故c≤

9

2

，即c的最大值為

9

2

．
（方法二）由

a1

=d及

Sn

=

a1

+(n-1)d，得d＞0，S_n=n²d²．
于是，對滿足題設的m，n，k，m≠n，有Sm+Sn=(m2+n2)d2＞

(m+n)2

2

d2=

9

2

d2k2=

9

2

Sk．
所以c的最大值cmax≥

9

2

．
另一方面，任取實數a＞

9

2

．設k為偶數，令m=

3

2

k+1，n=

3

2

k-1，則m，n，k符合條件，且Sm+Sn=(m2+n2)d2=d2[(

3

2

k+1)2+(

3

2

k-1)2]=

1

2

d2(9k2+4)．
于是，只要9k²+4＜2ak²，即當k＞

2

2a-9

時，Sm+Sn＜

1

2

d2•2ak2=aSk．
所以滿足條件的c≤

9

2

，從而cmax≤

9

2

．
因此c的最大值為

9

2

．

點評：本小題主要考查等差數列的通項、求和以及基本不等式等有關知識，考查探索、分析及論證的能力．