Question

【題目】已知橢圓，點， 是橢圓上的動點.

（Ⅰ）若直線與橢圓相切，求點的坐標；

（Ⅱ）若在軸的右側，以為底邊的等腰的頂點在軸上，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)聯立直線與橢圓的方程，利用判別式等于零可得，據此可得點的坐標為.

(Ⅱ)利用幾何關系可得是以為底邊的等腰三角形，結合題意可得面積函數： ，當且僅當等號成立.則四邊形面積的最小值為.

試題解析：

（Ⅰ）設直線的方程為，

聯立消去可得： ，

故，解得，

從而，解得， .所以，點的坐標為.

（Ⅱ）設線段的中點為.因是以為底邊的等腰三角形，故.

由題意，設，則點的坐標為，

且直線的斜率，故直線的斜率為，

從而直線的方程為： .又

令，得，化簡得.

所以，四邊形的面積

.等號成立.

所以，四邊形面積的最小值為.