Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，是的中點，是上一點，且

（1）求證:平面；

（2）若求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取PA的中點M，連接MD，ME，證明四邊形MDFE是平行四邊形，則，再由直線與平面平行的判定可得面PAD；

（2）過點P作于點H，則平面ABCD，以H為坐標原點，HA所在直線為y軸，過點H且平行于AB的直線為z軸，PH所在直線為x軸建立空間直角坐標系，求出平面ABCD的一個法向量與的坐標，再由兩向量所成角的余弦值可得直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

（1）如圖，取的中點，連接.

則，.

又，，所以，，

所以四邊形是平行四邊形，所以，

因為面，面，所以

（2）過點作于點，則平面，以為坐標原點，所在直線為軸，過點且平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

在等腰三角形中，，，

因為，所以，

解得.

則，所以，所以.

易知平面的一個法向量為，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.