Question

已知函數，在點處的切線方程是（e為自然對數的底）。
（1）求實數的值及的解析式；
（2）若是正數，設，求的最小值；
（3）若關于x的不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）a=1，b=0，f（x）=xlnx；（2）tln（3）

解析試題分析：（1）根據函數在點（e，f（e））處的切線方程是2x﹣y﹣e=0，可得f（e）=e，f′（e）=2，利用點（e，f（e））在函數f（x）=ax•lnx+b上，即可求實數a，b的值及f（x）的解析式；
（2）h（x）=f（x）+f（t﹣x）=xlnx+（t﹣x）ln（t﹣x），h（x）的定義域為（0，t），確定函數的單調性，從而可求h（x）的最小值；
（3）xlnx+（6﹣x）ln（6﹣x）=f（x）+f（6﹣x）=h（x），t=6時h（x）_min=h（3）=6ln3=ln729，從而關于x的不等式xlnx+（6﹣x）ln（6﹣x）≥ln（k²﹣72k）對一切x∈（0，6）恒成立，轉化為ln（k²﹣72k）≤ln729，解不等式，即可求得實數k的取值范圍．
試題解析：（1）依題意有2e﹣f（e）﹣e=0，∴f（e）=e
∵f（x）=ax•lnx+b，∴f′（x）=alnx+a+b∴f′（e）=alne+a+b=2，∴2a+b=2，∴b=2﹣2a
∵點（e，f（e））在函數f（x）=ax•lnx+b上∴f（e）=aelne+b=ae+b=e
∴ae+2﹣2a=e，∴a=1∴b=0，∴f（x）=xlnx；
故實數a=1，b=0，f（x）=xlnx                          …（4分）
（2）h（x）=f（x）+f（t﹣x）=xlnx+（t﹣x）ln（t﹣x），
的定義域為；              
增函數減函數
 （8分）
（3）
由(2)知

對一切恒成立


故實數的取值范圍.（12分）
考點：利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．