Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（1）求證：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）設θ為直線C₁N與平面CNB₁所成的角，求sinθ的值；
（3）設M為AB中點，在BC邊上求一點P，使MP∥平面CNB₁，求

BP

PC

的值．

Answer 1

（1）證明：∵該幾何體的正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．…（2分）
以B為坐標原點，分別以BA，BC，BB₁所在直線別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵

BN

•

NB1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；…（4分）
（2）設n₂=（x，y，z）為平面NCB₁的一個法向量，
則

n2 • CN =0 n2 • NB1 =0

⇒

(x，y，z)•(4，4，-4)=0 (x，y，z)•(-4，4，0)=0

⇒

x+y-z=0 -x+y=0

，取

n2

=(1，1，2)，

C1N

=(4，-4，-4)
則sinθ=|

(4，-4，-4)•(1，1，2)

16+16+16 • 1+1+4

|=

2

3

；…（8分）
（3）∵M（2，0，0）．設P（0，0，a）為BC上一點，則

MP

=(-2，0，a)，∵MP∥平面CNB₁，
∴

MP

⊥

n2

⇒

MP

•

n2

=(-2，0，a)•(1，1，2)=-2+2a=0⇒a=1．
又PM?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴當PB=1時，MP∥平面CNB₁
∴

BP

PC

=

1

3

…（12分）