Question

 設拋物線的方程為，為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為,.

（1）當的坐標為時，求過三點的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關系；

（2）求證：直線恒過定點；

（3）當變化時，試探究直線上是否存在點，使為直角三角形，若存在，有幾個這樣的點，若不存在，說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

 (本小題滿分1４分)

解：(1)當的坐標為時，設過點的切線方程為，代入，整理得，

令，解得，

代入方程得，故得，       ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

因為到的中點的距離為，

從而過三點的圓的方程為．

易知此圓與直線相切.              ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）證法一：設切點分別為,,過拋物線上點的切線方程為，代入，整理得    

，又因為，所以．．．．．．．．．．．．．．．．5分

從而過拋物線上點的切線方程為即

又切線過點，所以得    ①   即

同理可得過點的切線為，

又切線過點，所以得    ②   即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

即點，均滿足即，故直線的方程為                                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

證法二：設過的拋物線的切線方程為，代入，消去，得    

即：．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

從而，此時，

所以切點的坐標分別為，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

因為，，

，

所以的中點坐標為

故直線的方程為，即.．．．．．．．．．．．．．．7分

又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

證法三：由已知得，求導得，切點分別為,，故過點的切線斜率為，從而切線方程為即

又切線過點，所以得    ①   即

同理可得過點的切線為，

又切線過點，所以得    ②  

即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

即點，均滿足即，故直線的方程為                     ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點       .．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）解法一：由（2）中①②兩式知是方程的兩實根，故有

（*）

將，，代入上（*）式得

∴

，     ．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

①當時，，直線上任意一點均有，為直角三角形；                                                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

②當時，，，不可能為直角三角形；

                                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

③當時，，.

因為，，

所以

若，則，整理得，

又因為，所以，

因為方程有解的充要條件是.

所以當時，有或，為直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分

綜上所述，當時，直線上任意一點，使為直角三角形，當時，直線上存在兩點，使為直角三角形；當或時，不是直角三角形.

．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

解法二：由（2）知，且是方程的兩實根，即，從而，

所以

當時，即時，直線上任意一點均有，為直角三角形；                                                 ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

當時，即時，與不垂直。

因為，，

所以

若，則，整理得，

又因為，所以，

因為方程有解的充要條件是.

所以當時，有或，為直角三角形.．．．．．．．．．．．．．13分

綜上所述，當時，直線上任意一點，使為直角三角形，當時，直線上存在兩點，使為直角三角形；當或時，不是直角三角形.

．．．．．．．．．．．．．．．．．14分