Question

（2013•浙江模擬）如圖，已知拋物線的方程為x²=2py（p＞0），過點A（0，-1）作直線與拋物線相交于P，Q兩點，點B的坐標為（0，1），連接BP，BQ，設QB，BP與x軸分別相交于M，N兩點．如果QB的斜率與PB的斜率的乘積為-3，則∠MBN的大小等于（　　）

• A．

  π

  2

• B．

  π

  4

• C．

  2π

  3

• D．

  π

  3

Answer 1

分析：設直線PQ的方程為：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯立直線PQ方程與拋物線方程消掉y得x的二次方程，根據韋達定理及斜率公式可求得k_BP+k_BQ=0，再由已知k_BP•k_BQ=-3可解得kBP=

3

，kBQ=-

3

，由此可知∠BNM與∠BMN的大小，由三角形內角和定理可得∠MBN．

解答：解：設直線PQ的方程為：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=kx-1 x2=2py

得x²-2pkx+2p=0，△＞0，
則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2p，
kBP=

y1-1

x1

，kBQ=

y2-1

x2

，
kBP+kBQ=

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=

kx1-2

x1

+

kx2-2

x2

=

2kx1x2-2(x1+x2)

x1x2

=

2k•2p-2•2pk

2p

=0，即k_BP+k_BQ=0①
又k_BP•k_BQ=-3②，
聯立①②解得kBP=

3

，kBQ=-

3

，
所以∠BNM=

π

3

，∠BMN=

π

3

，
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=

π

3

，
故選D．

點評：本題考查直線、拋物線方程及其位置關系等知識，解決本題的關鍵是通過計算發現直線BP、BQ斜率互為相反數．