Question

如圖，和兩點分別在射線OS、OT上移動，且，O為坐標原點，動點P滿足．
（Ⅰ）求m•n的值；
（Ⅱ）求P點的軌跡C的方程，并說明它表示怎樣的曲線？
（Ⅲ）若直線l過點E（2，0）交（Ⅱ）中曲線C于M、N兩點，且，求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由向量數量積的坐標運算即可求得m•n的值；
（II）欲求P點的軌跡C的方程，設點P（x，y），只須求出其坐標x，y的關系式即可，由題意向量關系將x，y用m，n表示，最后消去m，n得到一個關系式，即得點P的軌跡方程．
（III）設直線l的方程為x=ty+2，將其代入C的方程得到一個一元二次方程，利用根與系數的關系結合向量運算即可求得t值，從而求得l的方程．
解答：解：（Ⅰ）由已知得

=
∴（4分）
（Ⅱ）設P點坐標為（x，y）（x＞0），由
得=（5分）
∴消去m，n可得，又因（8分）
∴P點的軌跡方程為
它表示以坐標原點為中心，焦點在x軸上，且實軸長為2，焦距為4的雙曲線的右支（9分）
（Ⅲ）設直線l的方程為x=ty+2，將其代入C的方程得3（ty+2）²-y²=3
即（3t²-1）y²+12ty+9=0
易知（3t²-1）≠0（否則，直線l的斜率為，它與漸近線平行，不符合題意）
又△=144t²-36（3t²-1）=36（t²+1）＞0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
∵l與C的兩個交點M，N在y軸的右側
x₁x₂=（ty₁+2）（ty₂+2）
=t²y₁y₂+2t（y₁+y₂）+4
=
=
∴3t²-1＜0，即
又由x₁+x₂＞0同理可得（11分）
由得（2-x₁，-y₁）=3（2-x₂，y₂）
∴
由得
由得
消去y₂得
解之得：，滿足（13分）
故所求直線l存在，其方程為：或（14分）
點評：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎知識，以及求直線方程的基本技能和綜合運用數學知識解決問題的能力．