Question

如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°.

(1)證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；
(2)求cos∠COD.

Answer 1

（1）見解析   （2）17－12

(1)證明 設平面PAB與平面PCD的交線為l.

因為AB∥CD，AB不在平面PCD內，所以AB∥平面PCD.
又因為AB?平面PAB，平面PAB與平面PCD的交線為l，所以AB∥l.
由直線AB在底面上而l在底面外可知，l與底面平行．
(2)設CD的中點為F，連接OF，PF.
由圓的性質，知∠COD＝2∠COF，OF⊥CD.
因為OP⊥底面，CD?底面，所以OP⊥CD.
又OP∩OF＝O，故CD⊥平面OPF.
又CD?平面PCD，因此平面OPF⊥平面PCD，從而直線OP在平面PCD上的射影為直線PF，故∠OPF為OP與平面PCD所成的角．由題設，∠OPF＝60°.
設OP＝h，則OF＝OP·tan∠OPF＝h·tan 60°＝h.
根據題設有∠OCP＝22.5°，得
OC＝＝.
由1＝tan 45°＝和tan 22.5°＞0，
可解得tan 22.5°＝－1，
因此OC＝＝(＋1)h.
在Rt△OCF中，cos∠COF＝＝＝－，
故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos²∠COF－1＝2(－)²－1＝17－12.