Question

我校某同學設(shè)計了一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”來慶祝數(shù)學學科節(jié)的成功舉辦.其中、是過拋物線焦點的兩條弦，且其焦點，，點為軸上一點，記，其中為銳角．

（1）求拋物線方程；
（2）當“蝴蝶形圖案”的面積最小時求的大小.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查拋物線的定義和方程、向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力.第一問，根據(jù)拋物線的標準方程，利用焦點坐標直接寫出拋物線方程；第二問，設(shè)出，根據(jù)已知條件寫出A點坐標，由于點A在拋物線上，所以將點A坐標代入到拋物線方程中，利用整理出的方程求出，同理求出，，，利用這4個邊長求“蝴蝶形圖案”的面積得出三角函數(shù)式，利用換元法求函數(shù)最值.
試題解析：（1）由拋物線焦點得，拋物線方程為.
（2）設(shè)，則點，
所以，，即.
解得，
同理：，，，
“蝴蝶形圖案”的面積，
令，，∴，
則，∴時，即，“蝴蝶形圖案”的面積為8.
考點：1.拋物線的標準方程；2.兩點間距離公式；3.換元法求函數(shù)最值.