Question

（1）若直角三角形兩直角邊長之和為12，求其周長p的最小值；
（2）若三角形有一個內(nèi)角為，周長為定值p，求面積S的最大值；
（3）為了研究邊長a、b、c滿足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面積是否存在最大值，現(xiàn)有解法如下：，要使S的值最大，則應使sinC最大，即使∠C最大，也就是使∠C所對的邊c邊長最大，所以，當a?9，b?8，c?4時該三角形面積最大，此時，，所以，該三角形面積的最大值是．以上解答是否正確？若不正確，請你給出正確的解答．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直角三角形兩直角邊長為x、12-x，斜邊長為y，由勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最小值，即得周長p的
最小值．
（2）根據(jù)周長p=，利用基本不等式求得 ，再由S==，求得面積S的最大值．
（3）不正確，由海倫公式化簡可得16S²=-[a²-（b²+c²）]²+4b²c²，而-[a²-（b²+c²）]²≤0，b²≤64，c²≤16，
則S≤16，故當三角形的邊長a、b、c 分別為  的直角三角形時，其面積取得最大值16．
另解：．
解答：解：（1）設直角三角形兩直角邊長分別為x、12-x，斜邊長為y，則 ，
∴兩直角邊長都為6時，周長p的最小值為 ．
 （2）設三角形中邊長為x、y的兩邊所夾的角為 ，則周長p=，
∴，即 ．
又S=，∴面積S的最大值為 ．
（3）不正確．16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）²-a²][a²-（b-c）²]
=-a⁴+2（b²+c²）a²-（b²-c²）²=-[a²-（b²+c²）]²+4b²c²，
而-[a²-（b²+c²）]²≤0，b²≤64，c²≤16，則S≤16．
其中等號成立的條件是 a²=b²+c²，b=8，c=4，則 ．
∴當三角形的邊長a、b、c 分別為 的直角三角形時，其面積取得最大值16．
（ 另解：）．
點評：本題考查基本不等式，反余弦函數(shù)的定義，海倫公式的應用，三角形中的幾何計算，屬于難題．