Question

（1）若直角三角形兩直角邊長之和為12，求其周長p的最小值；
（2）若三角形有一個內角為，周長為定值p，求面積S的最大值；
（3）為了研究邊長a，b，c滿足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面積是否存在最大值，現有解法如下：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（a+b）²-c²][c²-（a-b）²]=-c⁴+2（a²+b²）c²-（a²-b²）²=-[c²-（a²+b²）]²+4a²b²
而-[c²-（a²+b²）]²≤0，a²≤81，b²≤64，則S≤36，但是，其中等號成立的條件是c²=a²+b²，a=9，b=8，于是c²=145與3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面積不存在最大值．
以上解答是否正確？若不正確，請你給出正確的答案．
（注：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）稱為三角形面積的海倫公式，它已經被證明是正確的）

Answer 1

【答案】分析：（1）設直角三角形兩直角邊長為x、12-x，斜邊長為y，由勾股定理和二次函數的性質求出y的最小值，即得周長p的
最小值．
（2）根據周長p=，利用基本不等式求得 ，再由S==，求得面積S的最大值．
（3）不正確，由海倫公式化簡可得16S²=-[a²-（b²+c²）]²+4b²c² ，而-[a²-（b²+c²）]²≤0，b²≤64，c²≤16，
則S≤16，故當三角形的邊長為的直角三角形時，其面積取得最大值16．
另解：．
解答：解：（1）設直角三角形兩直角邊長為x、12-x，斜邊長為y，則，
∴兩直角邊長為6時，周長p的最小值為．
（2）設三角形中邊長為x、y的兩邊所夾的角為，則周長p=，
∴，即．
又S=，∴為．
（3）不正確．16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）²-a²][a²-（b-c）²]
=-a⁴+2（b²+c²）a²-（b²-c²）² =-[a²-（b²+c²）]²+4b²c²
而-[a²-（b²+c²）]²≤0，b²≤64，c²≤16，則S≤16，
其中等號成立的條件是 a²=b²+c²，b=8，c=4，則．
∴當三角形的邊長為的直角三角形時，其面積取得最大值16．
（ 另解：）
點評：本題考查基本不等式，反余弦函數的定義，海倫公式的應用，三角形中的幾何計算，屬于中檔題．