Question

【題目】正項數列的前項和為，且.

（Ⅰ）試求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，求的前項和為.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若對一切恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）將所給條件式子兩邊同時平方,利用遞推法可得的表達式,由兩式相減,變形即可證明數列為等差數列,進而結合首項與公差求得的通項公式.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.將與代入即可求得數列的通項公式,利用裂項法即可求得前項和.

（Ⅲ）先求得的取值范圍,結合不等式,即可求得的取值范圍.

（Ⅰ）因為正項數列的前項和為,且

化簡可得

由遞推公式可得

兩式相減可得,變形可得

即,由正項等比數列可得

所以

而當時,解得

所以數列是以為首項,以為公差的等差數列

因而

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

則

代入中可得

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知

則,所以數列為單調遞增數列,則

且當時, ,即

所以

因為對一切的恒成立

則滿足,解不等式組可得

即實數的取值范圍為