精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

（1）已知| $數學公式$ |=4，| $數學公式$ |=3，（2 $數學公式$ -3 $數學公式$ ）•（2 $數學公式$ + $數學公式$ ）=61，求 $數學公式$ 與 $數學公式$ 的夾角θ；
（2）設 $數學公式$ =（2，5）， $數學公式$ =（3，1）， $數學公式$ =（6，3），在 $數學公式$ 上是否存在點M，使 $數學公式$ ，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

解：（1）∵（2 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ ）•（2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=61
∴ $\text{[math]}$
又∵| $\text{[math]}$ |=4，| $\text{[math]}$ |=3
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-6．…3分
∴ $\text{[math]}$
∴θ=120°．…6分
（2）設存在點M，且 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．…8分
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴（2-6λ）（3-6λ）+（5-3λ）（1-3λ）=0，…10分
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴存在M（2，1）或 $\text{[math]}$ 滿足題意．…16分．
分析：（1）根據（2 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ ）•（2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=61求出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-6然后再利用向量的夾角公式cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ 再結合＜ $\text{[math]}$ ＞∈[0，π]即可求出 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的夾角θ．
（2）假設存在點M符合題意則可設 $\text{[math]}$ 即M（6λ，3λ）從而求出 $\text{[math]}$ 再根據 $\text{[math]}$ 利用向量數量積的坐標計算再結合0＜λ≤1即可求出λ進而求出點M．
點評：本題主要考查了利用數量積求向量的夾角，屬常考題，較易．解題的關鍵是熟記向量的夾角公式cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ 同時要注意＜ $\text{[math]}$ ＞∈[0，π]這一隱含條件以及 $\text{[math]}$ 的等價條件 $\text{[math]}$ !

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