Question

若偶函數f（x）滿足f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

），且在x∈[0，1]時，f（x）=x²，則關于x的方程f（x）=(

1

10

)x在[-2，3]上根的個數是（　　）

A．2個

B．3個

C．4個

D．6個

Answer 1

分析：由條件可得函數f（x）的周期等于2，f（x）=x²，x∈[-1，1]．方程f（x）=(

1

10

)x在[-2，3]上根的個數就是函數y=f（x）與函數 y=(

1

10

)x的圖象在[-2，3]上交點的個數．數形結合得到答案．

解答：解：∵偶函數f（x）滿足f（x-

1

2

）=f（x+

3

2

），
∴f（x）=f（x+2），故函數f（x）的周期等于2．
又∵在x∈[0，1]時，f（x）=x²，且f（x）是偶函數，可得f（x）=x²，x∈[-1，1]．
關于x的方程f（x）=(

1

10

)x在[-2，3]上根的個數就是函數y=f（x）與函數 y=(

1

10

)x的圖象
在[-2，3]上交點的個數．
如圖所示：函數y=f（x）與函數 y=(

1

10

)x的圖象在[-2，3]上只有3個交點，
故選B．

點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，函數的奇偶性與周期性的應用，抽象函數的應用，體現了轉化與數形結合的數學思想，屬于中檔題．