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已知函數f（x）是定義（0，+∞）的單調遞增函數，且x∈N^時，f（x）∈N^，若f[f（n）]=3n，則f（2）=；f（4）+f（5）=．

解：若f（1）=1，則f（f（1））=f（1）=1，與條件f（f（n））=3n矛盾，故不成立；
若f（1）=3，則f（f（1））=f（3）=3，即f（1）=f（3）這與函數單調遞增矛盾，故不成立；
若f（1）=n （n＞3），則f（f（1））=f（n）=3，與f（x）單調遞增矛盾，故不成立；
所以只剩f（1）=2，代入可得f（f（1））=f（2）=3，
進而可得f（f（2））=f（3）=6，f（f（3））=f（6）=9，
由單調性可知f（4）=7，f（5）=8，故f（4）+f（5）=15
故答案為：3；15
分析：由x∈N^*時，f（x）∈N^*，分類討論可得f（1）=2，進而可得f（3）=6，f（6）=9，由單調性可知f（4）=7，f（5）=8，進而可得答案．
點評：本題考查函數值的求解，涉及分類討論的思想，屬基礎題．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=

2x+2-x

，g（x）=

2x-2-x

，
（1）計算：[f（1）]²-[g（1）]²；
（2）證明：[f（x）]²-[g（x）]²是定值．

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已知函數f（x）=x+

的定義域為（0，+∞），且f（2）=2+

．設點P是函數圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

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已知函數f（x）=log₃

1-x

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為

的點P滿足2

（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：y₁+y₂為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(

)+f(

)+…+f(

n-1

)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=

， n=1

4(Sn+1)(Sn+1+1)

，n≥2

，其中n∈N^*，T_n為數列{a_n}的前n項和，若T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=log₃

1-x

，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是f（x）圖象上的兩點，且x₁+x₂=1．
（1）求證：y₁+y₂為定值；
（2）若S_n=f（

）+f（

）+…+f（

n-1

）（n∈N^*，N≥2），求S_n；
（3）在（2）的條件下，若a_n=

，n=1

4(Sn+1)(Sn+1+1)

，n≥2

（n∈N^*），T_n為數列{a_n}的前n項和．求T_n．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=sin（2x-

），g（x）=sin（2x+

），直線y=m與兩個相鄰函數的交點為A，B，若m變化時，AB的長度是一個定值，則AB的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

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已知函數f（x）是定義（0，+∞）的單調遞增函數，且x∈N*時，f（x）∈N*，若f[f（n）]=3n，則f（2）=________；f（4）+f（5）=________．

已知函數f（x）是定義（0，+∞）的單調遞增函數，且x∈N^時，f（x）∈N^，若f[f（n）]=3n，則f（2）=；f（4）+f（5）=．