Question

若函數g(

1

2

x+1)是奇函數，且函數f（2x+1）=sin（ωx）（0＜ω＜4）過g（x）圖象的對稱點，則函數f（x）的周期為

4

．

Answer 1

分析：由函數g（

1

2

x+1）是奇函數，根據奇函數的性質可得函數關于原點對稱，進而確定出g（x）對稱點為（-2，0），將（-2，0）代入f（2x+1）=sin（ωx），由ωx=kπ（k為整數），根據ω的范圍確定出ω的值，設t=2x+1，確定出f（t）的解析式，即為f（x）的解析式，利用周期公式即可求出函數f（x）的最小正周期．

解答：解：∵函數g（

1

2

x+1）是奇函數，
∴函數g（

1

2

x+1）的對稱點為（0，0），
∴g（x）的對稱點為（-2，0），
∴f（2x+1）=sin（ωx）過（-2，0），
代入得：f（-3）=sin（-2ω）=-sin2ω=0，即sin2ω=0，
∴2ω=kπ（k∈Z），即ω=

kπ

2

，又0＜ω＜4，
∴ω=π或ω=

π

2

，
設t=2x+1，則x=

t-1

2

，
∴f（t）=sin（

ω

2

t-

ω

2

），即f（x）=sin（

ω

2

x-

ω

2

），
∴T=4或8，
則f（x）的最小正周期是4．
故答案為：4

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，涉及的知識有：函數的奇偶性的性質，函數解析式的確定，正弦函數的圖象與性質，其中得出g（x）圖象的對稱點是解本題的關鍵．