Question

【題目】設(e為自然對數的底數)，．

(I)記，討論函單調性；

(II)令，若函數G(x)有兩個零點．

(i)求參數a的取值范圍；

(ii)設的兩個零點，證明．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ)（i）a>0; (ii)見解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

（Ⅱ）（i）求出函數的導數，通過討論a的范圍，根據函數的零點的個數，求出a的范圍即可；

（ii）根據a的范圍，得到，令m＞0，得到F （-1+m）﹣F（﹣1﹣m）（e2m+1），再令φ（m）e2m+1，根據函數的單調性證明即可．

（Ⅰ），

，所以

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增．

（Ⅱ）由已知，，

．

①當時，，有唯一零點；

②當時，，所以

當時，，減；

當時，，增．

所以，

因，所以當時，有唯一零點；

當時，，則，所以，

所以，

因為，

所以，，，且，當，時，使，

取，則，從而可知

當時，有唯一零點，

即當時，函數有兩個零點．

③當時，，由，得，或．

若，即時，，所以是單調減函數，至多有一個零點；

若，即時，，注意到，都是增函數，所以

當時，，是單調減函數；

當時，，是單調增函數；

當時，，是單調減函數．

又因為，所以

至多有一個零點；

若，即時，同理可得

當時，，是單調減函數；

當時，，是單調增函數；

當時，，是單調減函數．

又因為，所以至多有一個零點．

綜上，若函數有兩個零點，則參數的取值范圍是．

由知，函數有兩個零點，則參數的取值范圍是．

，是的兩個零點，則有

，

因，則，且，，，，，

由（Ⅰ）知，當時，是減函數；當時，是增函數．

令，，

再令φ（m）e2m+1＝e2m1，，

，

所以，又，所以

時，恒成立，即

恒成立，

令，即，有，即

，

因為，所以，又，必有，

又當時，是增函數，所以，即

．