Question

已知函數f（x）=b•a^x（其中a，b為常量且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，6），B（3，24）．
（1）試確定f（x）．
（2）若不等式（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0在x∈（-∞，1]時恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,指數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：第（1）問，將A、B的坐標代入解析式，得關于a、b的方程組，解出a、b即可；
第2問，將（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0化為，m≤（

1

a

）^x+（

1

b

）^x，只需m≤[（

1

a

）^x+（

1

b

）^x]_min即可，利用函數的y=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x的單調性可求得其最小值．

解答： 解：（1）將A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x
得6=ab，24=ba³，
解得a=2，b=3．
（2）∵（

1

2

）^x+（

1

3

）^x-m≥0在x∈（-∞，1]時恒成立，
∴m≤（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x∈（-∞，1]時恒成立，
∴m≤[（

1

a

）^x+（

1

b

）^x]_min  x∈（-∞，1]，
令f（x）=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x x∈（-∞，1]，
任取x₁＜x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=(

1

2

)x1-(

1

2

)x2+(

1

3

)x1-(

1

3

)x2①
∵y=(

1

2

)x與y=(

1

3

)x在R上是減函數，
∴(

1

2

)x1＞(

1

2

)x2，（(

1

3

)x1＞(

1

3

)x2，
∴①式＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，1]上是減函數，
f（x）_min=f（1）=

5

6

，
∴m≤

5

6

．

點評：不等式恒成立問題，一般轉化為函數的最值問題．求參數范圍時一般先分離參數，然后研究不等式另一端函數式的最值．