Question

已知數列{a_n}滿足8a_n+1=m+a_n²，n∈N^*，a₁=1，m為正數．
（1）若a_n+1＞a_n對n∈N^*恒成立，求m的取值范圍；
（2）是否存在m，使得對任意正整數n都有

9

4

＜an+1＜2007？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，8（a_n+1-a_n）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），a_n+1＞a_n對n∈N*恒成立的充要條件是a₂-a₁＞0．
（2）假設存在m，符合要求，a_n+1-a_n=

1

8

(m+

a

2 n

)-an=

1

8

(an-4)2+

m-16

8

≥

m-16

8

，遞推出a_n≥a1+

m-16

8

(n-1)=1+

m-16

8

(n-1)，
考查出當m＞16時，a_n→+∞，故不存在．

解答：解：（1）∵m為正數，8a_n+1=m+a_n²①，a₁=1，∴a_n＞0（n∈N*）
又8a_n=m+a_n-1²②，①-②兩式相減得8（a_n+1-a_n）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∴a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號
∴a_n+1＞a_n對n∈N*恒成立的充要條件是a₂-a₁＞0
由a₂-a₁=

m+1

8

-1＞0，得m＞7
（2）證明：假設存在m，使得對任意正整數n都有

9

4

＜an+1＜2007．
則a2＞

9

4

，則m＞17．--------------------（9分）
另一方面，a_n+1-a_n=

1

8

(m+

a

2 n

)-an=

1

8

(an-4)2+

m-16

8

≥

m-16

8

，---------（11分）
∴a₂-a₁≥

m-16

8

，a₃-a₂≥

m-16

8

，…，a_n-a_n-1≥

m-16

8

，
∴a_n-a₁≥

m-16

8

(n-1)，∴a_n≥a1+

m-16

8

(n-1)=1+

m-16

8

(n-1)
當m＞16時，由①知，a_n→+∞，不可能使a_n+1＜2007對任意正整數n恒成立
∴m≤16，這與m＞17矛盾，故不存在m，使得對任意正整數n都有

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＜an+1＜2007

點評：本題考查不等式成立的條件、數列的極限，考查恒成立問題、數列極限的運算、分類討論、分析解決問題能力．