Question

【題目】已知函數f（x）=lg（3+x）﹣lg（3﹣x）
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若f（a）=4，求f（﹣a）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=lg（3+x）﹣lg（3﹣x）

其定義域滿足： ，解得：﹣3＜x＜3．

故得f（x）的定義域數為{x|﹣3＜x＜3}

（2）解：由（1）可得f（x）的定義域數為{x|﹣3＜x＜3}．設﹣3＜x1＜x2＜3，

則f（x1）﹣f（x2）=lg（3+x1）﹣lg（3﹣x1）﹣lg（3+x2）+lg（3﹣x2）=lg =lg

因為9+3（x1﹣x2）﹣x1x2＞9+（x2﹣x1）﹣x1x2＜0，

∴ ＜1，

即f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x1）＜f（x2），即f（x）是（﹣3，3）上的增函數

（3）解：∵函數的定義域為（﹣3，3）．

∴定義域關于原點對稱，

∵f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），

∴函數f（x）是偶函數．

∴f（a）=4，則f（﹣a）=f（a）=4

【解析】（1）根據對數函數的真數要大于0列不等式組求解定義域．（2）利用定義證明其單調性．（3）判斷函數的奇偶性，f（a）=4，求解f（﹣a）的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的定義域及其求法(求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零)，還要掌握函數的奇偶性(偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱)的相關知識才是答題的關鍵．