Question

（本題滿分16分）已知函數f（x）對任意實數x均有f（x）="k" f（x+2），其中常數k為負數，且f（x）在區間[0，2]有表達式f（x）=x(x－2)。
⑴求f（-1）,f（2.5）的值（用k表示）；
⑵寫出f（x）在[－3，2]上的表達式，并討論f（x）在[－3，2]上的單調性（不要證明）；
⑶求出f（x）在[－3，2]上最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值。

Answer 1

⑴f（－1）=" k" f（1）= k（－1）=－k  …………………………………………2′
f（2.5）= f（0.5）=××（－）=－ …………………………4′
x∈[－2，0]時，x+2∈[0，2]
∴ f（x）=" k" f（x+2）= k（x+2）x …………………………………………6′
x∈[－3，－2）時   x+2∈[－1，0)
∴ f（x）=" k" f（x+2）= k²（x+4）（x+2）……………………………………8′
∴ f（x）=
⑵f（x）在[－3，－1]上單調增，在[1， 2] 單調增
在[－1， 1]上單調減   ……………………………………………………12′
⑶x=－1，f（x）_max=－k    ……………………………………………………13′
k=－1，f（x）_min=－1,此時x=1或x=－3  …………………………………14′
k<－1時，f（x）_min=－k²，此時x=－3    …………………………………15′
－1<k<0時，f（x）_min=－1，此時x="1      " …………………………………16′

略