Question

【題目】如圖，在四棱柱中，點和分別為和的中點,側棱底面.

（1）求證：//平面；

（2）求二面角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據題意,以為坐標原點建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,可通過證明與平面的法向量垂直,來證明//平面.

（2）根據（1）中建立的平面直角坐標系,分別求得平面的法向量與平面的法向量,即可求得兩個平面夾角的余弦值,結合同角三角函數關系式即可求得二面角的正弦值.

（1）證明：根據題意,以為坐標原點,為軸,為軸,為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系:

點和分別為和的中點, ,

則,則

,則

所以

依題意可知為平面的一個法向量

而

所以

又因為直線平面

所以平面

（2）

設為平面的法向量,

則,即

不妨設,可得

設為平面的一個法向量,

則,又,得

不妨設,可得

因此有,

于是

所以二面角的正弦值為