Question

【題目】已知等比數列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中項．數列{bn}滿足b1＝1，數列{（bn+1﹣bn）an}的前n項和為2n2+n．

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）求數列{bn}的通項公式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（1）運用等差數列的中項性質和等比數列的通項公式，解方程可得首項和公比，進而得到所求通項公式；

（2）設cn＝（bn+1﹣bn）an，數列{cn}前n項和為Sn．由數列的遞推式求得cn，再由數列的恒等式可得bn，再由數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，計算可得所求通項公式．

（1）由題知a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中項，

所以a3+a5＝2a4+4，解得a4＝8，a3+a5＝20，

即a1q3＝8，a1q2+a1q4＝20，

解得a1＝1，q＝2，

所以；

（2）設cn＝（bn+1﹣bn）an，數列{cn}前n項和為Sn．

由，Sn＝2n2+n，Sn﹣1＝2（n﹣1）2+n﹣1．

解得cn＝4n﹣1．

由（1）可知，

所以，

故，

bn﹣b1＝（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b3﹣b2）+（b2﹣b1），

設，

所以，

相減可得

3+4（4n﹣5）（）n﹣1，

化簡可得，

又b1＝1，所以．