Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形ACC1A1和BCC1B1均為正方形，且所在平面互相垂直．

（Ⅰ）求證：BC1⊥AB1；

（Ⅱ）求直線BC1與平面AB1C1所成角的大�。�

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】

（Ⅰ）由題意建立空間直角坐標系，利用坐標表示向量，求出⊥，即BC1⊥AB1；

（Ⅱ）求出平面AB1C1的法向量，再求與所成的角，即可得出直線BC1與平面AB1C1所成的角．

（Ⅰ）由題意，建立空間直角坐標系，如圖所示；

設三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱長AC＝1，則C（0，0，0），

A（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，0，1），B1（0，1，1），

C1（0，0，1），

∴（0，﹣1，1），（﹣1，1，1），

∴0﹣1+1＝0，

∴⊥，即BC1⊥AB1；

（Ⅱ）設平面AB1C1的法向量為（x，y，z），

則，

∴，

∴，

x＝1，（1，0，1）；

cos，，

∴與所成的角是60°，

∴直線BC1與平面AB1C1所成的角為30°．