Question

【題目】選修4—4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（t為參數）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2： ．

（Ⅰ）求曲線C1和C2的直角坐標方程，并分別指出其曲線類型；

（Ⅱ）試判斷：曲線C1和C2是否有公共點？如果有，說明公共點的個數；如果沒有，請說明理由；

（Ⅲ）設是曲線C1上任意一點，請直接寫出a + 2b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）2．（Ⅲ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）消去參數t可得曲線C1的方程是和軌跡,

利用極值互化公式可得的方程和軌跡.

（Ⅱ）聯立方程結合圖形對稱性知公共點的個數為2．

（Ⅲ）由C1的參數方程可得 a + 2b的取值范圍是．

試題解析：（Ⅰ）由題設知曲線C1的方程是．

所以曲線C1表示以為焦點，中心為原點的橢圓．

同理曲線C2的方程是．

所以曲線C2表示以為圓心，半徑是1的圓．

（Ⅱ）聯立曲線C1和C2的直角坐標方程，得．

消去x，得，解得或．

由圖形對稱性知公共點的個數為2．

（Ⅲ）a + 2b的取值范圍是．