Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數n，有S_n，

a

2(a-1)

an，n（a≠0，a≠1）成等差數列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n（用a，n表示）
（2）當a=

8

9

時，數列{b_n}是否存在最小項，若有，請求出第幾項最小；若無，請說明理由；
（3）若{b_n}是一個單調遞增數列，請求出a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設知

a

a-1

an+1=Sn+1+n+1，a_n+1+1=a（a_n+1），再由{a_n+1}是以a為公比的等比數列．知a_n+1=（a₁+1）a^n-1
又由

a

a-1

a1=a1+1?a₁=a-1，由此知a_n=aⁿ-1．
（2）a=

8

9

時，bn=n(

8

9

)nlg

8

9

，bn+1-bn=

8-n

9

•(

8

9

)n•lg

8

9

，
再經過分類討論可知存在最小項且第8項和第9項最小．
（3）由b_n+1＞b_n得b_n+1-b_n=（n+1）aⁿ⁺¹lga-naⁿlga=aⁿ[（n+1）a-n]lga＞0，由此入手能夠得到a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意

a

a-1

an=Sn+n①
∴

a

a-1

an+1=Sn+1+n+1②
②-①得

1

a-1

an+1=

a

a-1

an+1，
即a_n+1+1=a（a_n+1），{a_n+1}是以a為公比的等比數列．∴a_n+1=（a₁+1）a^n-1
又由

a

a-1

a1=a1+1?a₁=a-1∴a_n=aⁿ-1

（2）a=

8

9

時，bn=n(

8

9

)nlg

8

9

，bn+1-bn=

8-n

9

•(

8

9

)n•lg

8

9

當n＜8時，b_n+1-b_n＜0即b_n+1＜b_n，∴b₁＞b₂＞＞b₈
當n=8時，b_n+1-b_n=0即b_n+1=b&_n，b₈=b₉
當n＞8時，b_n+1-b_n＞0即b_n+1＞b_n∴b₉＜b₁₀＜
存在最小項且第8項和第9項最小

（3）由b_n+1＞b_n得b_n+1-b_n=（n+1）aⁿ⁺¹lga-naⁿlga=aⁿ[（n+1）a-n]lga＞0
當a＞1時，得（n+1）a-n＞0，即a＞

n

n+1

，顯然恒成立，∴a＞1
當0＜a＜1時，lga＜0，∴（n+1）a-n＜0即a＜

n

n+1

，∴a＜

1

2

，∴0＜a＜

1

2

綜上，a的取值范圍為(0，

1

2

)∪(1，+∞)．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，合理解答，注意公式的靈活運用．