Question

已知f(x)=

x2-ax+a

ex

（e≈2.71828）
（1）求f（x）的單調區間；
（2）設a＜0，g(x)=

a2+6

e x 2

’若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f(x1)-g(x2)|＜

4

e2

成的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數求導，使得導函數分別大于0，小于0，求對應的不等式的解集，求解集時小于對字母系數的值進行討論，比較出大小才能做出單調區間．
（2）根據a＜0，知f（x）在[0，2）上為增函數，在（2，4]上為減函數，分別求出兩個函數的最大值和最小值，利用函數的恒成立的思想，得到兩者之間的關系，解不等式得到結果．

解答：解：（1）①當a＜2時，由f′（x）＞0得2＜x＜a  由f′（x）＜0得x＜a或x＞2
∴f（x）的單調遞增區間為（a，2），單調減區間為（-∞，2）（a，+∞）
②當a=2時，f′（x）≤0，f（x）在（-∞，+∞）上為減函數
③當a＞2時，由f′（x）＞0，得2＜x＜a 由f′（x）＜0得x＜2或x＞a
∴f（x）的單調遞增區間為（2，a），單調減區間為（-∞，2）（a，+∞）
（2）∵a＜0，由（1）知f（x）在[0，2）上為增函數，在（2，4]上為減函數
∴當x∈[0，4]時f（x）_max=f（2）=

4-a

e2

又
∵g（x）=

a2+ 6

e x 2

在[0，4]上為減函數
∴g（x）_min=g（4）=

a2+6

e2

∵

a2+6

e2

-

4-a

e2

=

a2+a+2

e2

=

(a+ 1 2 )2+ 7 4

e2

＞0
∴g（x）_min＞f（x）_max恒成立，
∴若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜

4

e2

只需個g（x）_min-f(x)max＜

4

e2

即可
∴a²+a-2＜0
∴-2＜a＜1
∵a＜0
∴a∈（-2，0）

點評：本題考查導數的應用和函數的恒成立問題，是一個綜合題目，這種題目解題的關鍵是利用函數的思想，利用兩個函數的最大值和最小值之間的關系來解題．