Question

在△ABC中，O為中線AM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=4，則

OA

•(

OB

+

OC

)的最小值是

-8

．

Answer 1

分析：由M為BC的中點(diǎn)可得

OB

+

OC

=2

OM

，故

OA

•(

OB

+

OC

)=

OA

•2

OM

=2|

OA

||

OM

|cosπ，設(shè)|

OA

|=x，由于AM=4，故|

OM

|=4-x，x∈（0，4），可得2|

OA

||

OM

|cosπ=-2x（4-x）=2x²-8x，由二次函數(shù)的最值求法可得結(jié)果．

解答：解：如圖所示：
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)∴

OB

+

OC

=2

OM

，∴

OA

•(

OB

+

OC

)=

OA

•2

OM

=2|

OA

||

OM

|cosπ，設(shè)|

OA

|=x，由于AM=4，故|

OM

|=4-x，x∈（0，4）
故2|

OA

||

OM

|cosπ=-2x（4-x）=2x²-8x，
故當(dāng)x=-

-8

2×2

=2時(shí)，上式取到最小值-8．
故答案為：-8

點(diǎn)評(píng)：本題為向量的數(shù)量積的最值的求解，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間的最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．