Question

如圖，已知直線l₁∥l₂，點A是l₁，l₂之間的定點，點A到l₁，l₂之間的距離分別為3和2，點B是l₂上的一動點，作AC⊥AB，且AC與l₁交于點C，則△ABC的面積的最小值為

6

．

Answer 1

分析：用θ表示∠ABM，如圖，通過解RT△ABM，RT△ABM 表示出AB，AC，利用S=

1

2

AB•AC將S表示為關于θ的三角函數，利用三角函數性質求出最值．

解答：解：過A作l₁，l₂之間的垂線，垂足分別為M，N．設∠ABM=θ（0＜θ＜

π

2

）
在RT△ABM中，sinθ=

AM

AB

=

2

AB

，AB=

2

sinθ

在RT△ABM中，∠CAN=∠ABM=θ

3

cosθ

=

AN

AC

=

3

AC

，AC=

3

cosθ

△ABC的面積S=

1

2

AB•AC=

6

2sinθ•cosθ

=

6

sin2θ

當2θ=90°，即θ=45°時，S取得最小值6
故答案為：6

點評：本題考查解三角形知識，函數思想、建模解模．考查分析、解決、計算能力．