Question

如圖，已知直線l₁∥l₂，點(diǎn)A是l₁，l₂上兩直線之間的動(dòng)點(diǎn)，且到l₁距離為4，到l₂距離為3，若

AC

•

AB

=0，AC與直線l₂交于點(diǎn)C，則△ABC面積的最小值為（　　）

A．3

B．6

C．12

D．18

Answer 1

分析：過(guò)A作直線l₁的垂線交點(diǎn)分別為E和F，由l₁∥l₂，得到直線EF也與l₂垂直，從而得到AE及AF的值，由兩向量的數(shù)量積積為0得到兩向量垂直，即AB與AC垂直，設(shè)∠FAC=θ，則有∠EAB=

π

2

-θ，分別在直角三角形AEB和AFC中，由AE，AF，及設(shè)出的角度利用余弦函數(shù)定義表示出AB積AC，由三角形ABC為直角三角形，用直角邊AB與AC的乘積表示出三角形的面積，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到面積的最小值．

解答：
解：過(guò)A作l₁的垂線，與l₁，l₂分別交于點(diǎn)E和F，又l₁∥l₂，故直線EF也與l₂垂直，
則根據(jù)題意得AE=4，AF=3，
∵

AC

•

AB

=0，∴AB⊥AC，即∠BAC=

π

2

，
令∠FAC=θ，則∠EAB=

π

2

-θ，
∴cosθ=

3

AC

，則AC=

3

cosθ

，
同理可得AB=

4

cos( π 2 -θ)

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

6

cosθcos( π 2 -θ)

=

12

2sinθcosθ

=

12

sin2θ

≥12，
則△ABC的面積最小值為12．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，銳角三角函數(shù)定義，正弦函數(shù)的定義域及值域，誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，過(guò)A作出已知直線的垂線EF是解本題的關(guān)鍵．